leetcode62：不同路径

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题目描述

一个机器人位于一个m x n网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。
机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
总共有多少条不同的路径？

C++ 代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

/*
    状态表示：
        f[i][j] 表示从起点到 (i, j) 不同路径的个数。
    状态计算：
        向下走一步，f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j]
        向右走一步，f[i][j] = f[i][j-1] + f[i][j]
    边界情况：
    	i == 0 || j == 0 时，dp[i][j] = 1

    时间复杂度：O(mn)
        其中 m 和 n 分别是网格的行数和列数。
    空间复杂度：O(mn)
*/
class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> f(m, vector<int>(n));

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (i == 0 || j == 0) {
                    // 初始化
                    f[i][j] = 1;
                } else {
                    // 状态计算
                    f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1];
                }
            }
        }

        return f[m-1][n-1];
    }
};

/*
    优化空间
    f[i][j] 只使用 f[i-1][j] 和 f[i][j-1]，
    可以使用滚动数组，减小空间复杂度。

    时间复杂度：O(mn)
        其中 m 和 n 分别是网格的行数和列数。
    空间复杂度：O(n)
*/
class Solution_1 {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<int> f(n, 1); // 初始化为 1

        // 下标从 1 开始
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                f[j] = f[j] + f[j-1];
            }
        }

        return f[n-1];
    }
};

int main() {
    Solution solution;
    vector<int> m_cases = { 3, 3, 7, 3};
    vector<int> n_cases = { 7, 2, 3, 3 };

    for (int i = 0; i < m_cases.size(); i++) {
        int m = m_cases[i];
        int n = n_cases[i];
        int result = solution.uniquePaths(m_cases[i], n_cases[i]);

        cout << "Input: m = " << m << ", n = " << n << endl;
        cout << "Output: " << result << endl;
    }

    return 0;
}